Reinquadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form: $ax^2+bx+c=0$ bzw. eine Gleichung, die auf diese Form gebracht werden kann. Hierbei muss $a \neq 0$ sein, denn sonst hätte die Gleichung keinen quadratischen Term und wäre damit linear.
Die Zahlen $a,b$ und $c$ nennt man die Koeffizienten der Gleichung. Sind $b=0$ oder $c=0$ oder $b=c=0$, dann sprechen wir von einer unvollständigen quadratischen Gleichung.

Die reinquadratischen Gleichungen haben die Gestalt
$$x^2=a, \ a\in \R.$$

Solche Gleichungen haben offensichtlich keine Lösung, falls $a<0$.
 
Sie werden durch Wurzelziehen auf die einfache Betragsgleichung $\vert x\vert= \sqrt{a}$, zurückgeführt, wenn $a\geq0$ ist.
 
Daraus folgt dann $x_1=-\sqrt{a},\ x_{2}=\sqrt{a}$, was oft auch als $x_{1,2}=\pm\sqrt{a}$ geschrieben wird.

Die Lösungsmenge der Gleichung  ist dann  $\mathbb{L}=\{-\sqrt{a},\sqrt{a}\}$.

Beispiel:
$\begin{align} &\quad 3x^2=363 \quad\Big| : 3 \\ \Rightarrow& \quad x^2=121 \quad \ \ \Big| \sqrt{\quad}\\\Rightarrow &\quad x=\pm 11 \quad\Rightarrow x_{1}=-11,  x_{2}=11\\\Rightarrow&\quad\mathbb{L}=\{-11,11\}\end{align}$

Beispiel:
$\quad(x-2)^2=9$
Hier bekommen wir durch die Substitution $y=x-2$ eine reinquadratische Gleichung.
$\ \left[ \ y=x-2, \   y^2=9\right]$
 Diese wird gelöst.
$\quad \Rightarrow y=\pm3$
Durch die Rücksubstitution erhält man die Lösung der ursprünglichen Gleichung.
$\quad \Rightarrow x-2=\pm3 \quad \Rightarrow   x_{1}=5,  x_{2}=-1$
$\quad \Rightarrow\mathbb{L}=\{-1,5\}$