Reinquadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form: \(ax^2+bx+c=0\) bzw. eine Gleichung, die auf diese Form gebracht werden kann. Hierbei muss \( a \neq 0\) sein, denn sonst hätte die Gleichung keinen quadratischen Term und wäre damit linear.
Die Zahlen \(a,b\) und \(c\) nennt man die Koeffizienten der Gleichung. Sind \(b=0\) oder \(c=0\) oder \(b=c=0\), dann sprechen wir von einer unvollständigen quadratischen Gleichung.

Die reinquadratischen Gleichungen haben die Gestalt
\[ x^2=a, \ a\in \R.\]

Solche Gleichungen haben offensichtlich keine Lösung, falls \( a<0 \).
 
Sie werden durch Wurzelziehen auf die einfache Betragsgleichung \( \vert x\vert= \sqrt{a}\), zurückgeführt, wenn \( a\geq0 \) ist.
 
Daraus folgt dann \( x_1=-\sqrt{a},\ x_{2}=\sqrt{a}  \), was oft auch als \( x_{1,2}=\pm\sqrt{a} \) geschrieben wird.

Die Lösungsmenge der Gleichung  ist dann  \(\mathbb{L}=\{-\sqrt{a},\sqrt{a}\}\).

Beispiel:
\(\begin{align} &\quad 3x^2=363 \quad\Big| : 3 \\ \Rightarrow& \quad x^2=121 \quad \ \ \Big| \sqrt{\quad}\\\Rightarrow &\quad x=\pm 11 \quad\Rightarrow x_{1}=-11,  x_{2}=11\\\Rightarrow&\quad\mathbb{L}=\{-11,11\}\end{align}\)

Beispiel:
\(\quad(x-2)^2=9  \)
Hier bekommen wir durch die Substitution \(y=x-2\) eine reinquadratische Gleichung.
\(\ \left[ \ y=x-2, \   y^2=9\right]  \)
 Diese wird gelöst.
\(\quad \Rightarrow y=\pm3 \)
Durch die Rücksubstitution erhält man die Lösung der ursprünglichen Gleichung.
\( \quad \Rightarrow x-2=\pm3 \quad \Rightarrow   x_{1}=5,  x_{2}=-1\)
\(\quad \Rightarrow\mathbb{L}=\{-1,5\}\)